Posted by: Aba Cohen | January 24, 2012

## How Inertia Creates Gravity

This post was written after fruitful discussion I had at the Hebrew University of Jerusalem with Professor Igal Galili, on the Modern Physics concepts of Weight, Inertia and Gravity.

The more we become conscious of Einstein’s Theories of Relativity (TRs) the more we get amazed with the harmony and the interconnection of the elements in Nature. In the Special Theory of 1905, Einstein showed that an observer “A” at rest perceives the dimensions of space and time of an inertial* material body “B” (* with constant velocity “v” relative to “A”), with a shrinking of space in the direction of “v” and an expansion of time. This happens as a consequence of the invariance of the speed of light “c” for all observers and the attempts in vain to “B” to achieve or even notice any change in “c” due to their relative motion.  This is easily demonstrable and any high school student can understand and also deduce the contraction (or expansion) Lorentz’s Factor gamma, γ = {1 / [1 – (v/c)2]1/2}. I take this as known and if you are not familiar to this, you can read any TR introductory text to realize how easy this is. Between 1907 and 1915, Einstein spent eight years building something more complex: the General TR, valid for accelerated referentials. In my post “Understanding What Gravity Is” you can read about the relation between gravity/acceleration and both space contraction and time expansion, using a thought experiment proposed originally by Einstein (a material spinning disc) to explain the space-time effects caused by gravitaty. Such a space-time distortion can be understood as a bi-univocal cause/consequence of acceleration. Under this point of view the acceleration of gravity, in the Earth for instance, must be seen as a space-time radial gradient, with dimentions of m/s2 in its long range neighborhood, proportional to 1/r2, not a force as Newton proposed in the 17th Century.

The Earth’s circumference is contracted by about 9.3 mm

The connection between gravity and  the inertial mass comes as follows: Let´s first explore the concept of inertia of a resting body as the tendency of any material object to resist being moved (accelerated) out from its rest position in space-time: You can see the planet’s space contraction, perpendicular to g, and the time expansion in the Earth’s neighborhood as a kind of “grabbing action” of the planet (actually of any material body) into the Universe’s space-time framework -it creates a dimple or a kind of nest in space-time- in order to keep itself inertially at rest. Like a belt that you fasten to hold yourself in the car’s or in the airplane’s seat. When compared to a mass/gravity-free referential, the Earth or any material object shrinks space and expands time in its neighborhood as a mechanism of inertia trying to stand still. Note that according to the GTR the reduction of the Earth’s circumference “C” assuming the approximation of a constant density through its  ~6,378 Km radius is ΔC=2πGM/3c2 #, that corresponds to only ~ 9.3 mm shrinking, if compared to the circumference of the same planet without inertia (gravity) or ΔC/Co ~ 0.23 nanometer per meter – this together with the time expansion at the sea level (relative time delay Δt/to = GM/Rc2  #  of about 0.70 ns per second if compared with a clock set in a zero gravity referential – at the center of the Earth for example) producing a space-time deformation gradient with metrical units of m/s2 that is enough to generate our gravitational field g = 3(ΔC/Co)c2/R = (Δt/to)c2/R = 9.8m/s2. The more massive is the object, the stronger it sets itselg into spacetime; this makes absolutely natural the conceptual fusion of “inertial mass ≡ gravitational mass”, without any possibility of questioning. In other words, the larger is the inertial fixation of a body into space-time, the larger is the space-time deformation that means the gravitational field or gravity well.  Under this point of view, the energy associated to the “inertia of movement”, corresponding to the tendency of a material body “B” to keep a constant velocity “v” relative to an observer “A”, can be seen as both: kinetic energy of “B” relative to “A” as well as a source of gravitational waves with Doppler Effect forwards (shorter gravitational wavelengths) and backwards (larger gravitational wavelengths) when measured by “A”. As both gravity and inertia are interconnected (actually they are different manifestations of the same thing), this article’s title could be changed to “How Gravity Creates Inertia” or “Inertia is Gravity” without changing in its full meaning.

# G=Gravitational constant = 6.67 x 10-11m3Kg-1s-2 ; R= Earth’s radius = 6.37 x 10 6 m; M = Earth’s mass,=5.97x 1024 Kg; c= speed of light in vacuum = 3 x 108m/s

I would like to thank Professor Galili for suggesting me to write this essay on Modern Physics Concepts and would appreciate the comments of my readers.

Prof . Aba Cohen Persiano

Departamento de Física-UFMG, Brazil

persiano@fisica.ufmg.br

## Responses

1. Muito interessante e elucidativos esses seus comentários sobre a física de Einstein. As suas teorias da relatividade são realmente fascinantes.
E esse fascínio me levou a ler e a estudar Einstein a partir de várias de suas obras. O raciocínio empregado por Einstein para desenvolver suas teorias é simples e elegante. A matemática e as geometrias a elas subjacentes, por seu turno, apresentam um elevado nivel de complexidade.
Hoje falamos de “contração do espaço” e da “dilatação do tempo” ao nos referirmos à teoria da relatividade especial.
Einstein, ao propô-la, falou de percepções sensoriais de tempos e espaços. Objetivou o conceito de tempo tanto pelo fato de nos “lembrarmos” quanto pela distinção entre “experiências sensoriais” e a lembrança dessas experiências. E definiu o conceito de tempo pela ordem cronológica das experiências vividas pelo indivíduo. Definiu conceitualmente o espaço como lugar onde ocorreram as experiências sensoriais. E assumiu que, do ponto de vista lógico, tempo e espaço são criações livres da mente destinadas a estabelecer uma ligação entre experiências sensoriais observadas e suas lembranças.
Dessa forma, devem existir vários tempos e vários espaços. E, para relacioná-los, tomou a velocidade constante de propagação da luz como parâmetro de medida para o tempo.
Associou um espaço a cada referencial inercial e verificou que as medidas de um mesmo intervalo de tempo em diferentes referenciais não têm igual duração: o tempo é relativo a cada referencial inercial. Verificou ainda, que nesses mesmos referenciais o mesmo intervalo de espaço apresenta medidas diferentes em cada um desses referenciais.

Esse é o “cerne” da relatividade especial. A relação entre referenciais é regulada pela transformação de Lorentz (1 – v²/c²)¹/². Nesse contexto, a velocidade da luz é constante para cada referencial inercial, fato que está de acordo com a teoria do eletromagnetismo de Maxwell.
As velocidades de deslocamento entre referenciais influem decisivamente tanto nas medidas de tempo e de espaço quanto na equivalência entre a energia e a massa inerte.
Isso significa que as medidas tanto das massas inerciais do corpos como sua energia dependem do estado de movimento do referencial a partir do qual elas são inferidas.
E, considerando que a energia cinética é representada por E = mc², a massas dos corpos torna-se uma medida de seu conteúdo energético. Dessa forma, qualquer corpo que emita uma radiação eletromagnética (emita luz, por exemplo) sofre um decrescimo de sua massa correspondente à energia da radiação emitida. A radiação é então, um veículo de inércia entre corpos emissores e corpos receptores.
Prossigo em novo post.

2. No post anterior faltou dizer que apesar da velocidade de propagação da luz ser constante e igual para qualquer referencial inercial a freqüência dessa radiação varia com o estado de movimento de cada referencial (Princípio Doppler) e que tanto a freqüência quanto a energia de um complexo luminoso se alteram segundo a mesma lei de acordo com o estado de movimento do observador.
Nesses dois posts, para descrever a teoria da relatividade especial contei até aqui 4 vezes “referencial inercial”. Aliás, a exemplo da mecânica newtoniana, também a mecânica einsteniana é definida apenas para referenciais inerciais – aqueles para os quais valem o princípio da inércia de Galileu.
E poderíamos dizer sem medo de errar que nelas, as leis da natureza só pretendem ser válidas quando suas descrições espaços temporais tomam como base um sistema inercial. Pois é em relação a um sistema inercial que o princípio da inércia e o princípio da constância da velocidade da luz têm validade.
Mas não deveria ser assim. As leis da natureza deverão ter uma estrutura tal que suas validades se mantenham em sistemas de referência animados de qualquer estado de movimento.
Vamos então partir da suposição que existe um sistema de referência S em um estado de movimento tal que, em relação a ele, seja válido o princípio de Galileu: uma massa M abandonada a si própria e suficientemente afastadas de outras massas efetua um movimento retilíneo uniforme.
Seja outro sistema coordenado S’ que apresente em relação a S um movimento de translação uniformemente acelerado.
Para um observador em S’ a massa M seria vista dotada de um movimento curvilíneo acelerado com idêntica aceleração àquela de S’ em relação a S. Tal aceleração é independente, em grandeza e em direção, tanto da composição química do material que constitui M quanto de seu estado físico.
O observador de S’ seria levado a considerar que o seu referencial estaria em repouso e que o movimento acelerado da massa M seria devido a ação de um campo de gravidade. (O campo gravitacional tem a notável propriedade de comunicar a todos os corpos a mesma aceleração).
Assim o que é massa inercial para um observador de S torna-se massa gravitacional para o observador de S’.

A teoria da relatividade geral é dessa forma baseada no princípio da equivalência existente entre sistemas de referência em campos gravitacionais e sistemas de referência acelerados na ausência de campo gravitacional; na equivalência entre massa inercial e massa gravitacional.

Se admitirmos como premissa que esses princípios são verdadeiros para todas as leis da natureza, eles terão um grande valor heurístico por permitir obter informação acerca do curso dos fenômenos num campo de gravidade, através de considerações teóricas dos fenômenos que se passam em um sistema de referência uniformemente acelerado.

Como conseqüência, as transformações de coordenadas entre sistemas de referência já não são mais lineares e as medidas de tempo e espaço passam a ser funções da posição.
Em outras palavras, a gravitação é condicionada pela distribuição da matéria existente em cada lugar do espaço.
Essá é a idéia central da relatividade geral.

3. Olá Leo, voce discorre de modo simples e correto algumas questões associadas aos referenciais inerciais e acelerados, pontos centrais das 2 Teorias da Relatividade. Praticamente tudo que escreveu está correto. Há no entanto pelo menos 1 informação que não procede. Voce fala que “c” é fixo “apenas quando medimos a luz em referenciais inerciais”, não valendo em referenciaus acelerados. Isto está incorreto jã que para 2 observadores com velocidades constantes v’ e v”, “c” é fixo. Desta forma, transitando entre v e v’ em sucessivos cortes, o valor de c também permanaecerá fixo.

4. De fato, lendo minhas considerações verifiquei que elas levam a entender que a velocidade de propagação da luz só é constante em referenciais inerciais.
Não foi isso que quiz dizer. A essência de meu raciocínio é a seguinte: tanto a mecânica newtoniana quanto a mecânica einsteniana (teoria da relatividade especial) são definidas apenas para sistemas inerciais. As leis da natureza definidas para sistemas inerciais não são as mesmas quando referidas a sistemas acelerados.
A transformação de coodenadas entre sistemas inerciais é linear. É o caso da transformação de Lorentz (1 – v²/c²)¹/² que demonstra ser a velocidade de propagação das radiações eletromagnéticas uma velocidade limite.

Por outro lado, a transformação de coordenadas entre sistemas acelerados é expressa por uma transformação não linear, uma vez que o deslocamento acelerado é expresso por uma função do tipo x’ = x – 1/2 gt² (não linear), sendo g a aceleração do movimento.
Nesse contexto, não existe nenhuma evidência matemática que suporte o fato de que a velocidade de propagação das radiações eletromagnéticas deverão manter a condição de velocidade limite.

Se levarmos em conta o princípio da equivalência entre sistemas referenciais dotados de campo gravitacional e sistemas referenciais acelerados na ausência de campo gravitacional; na equivalência entre massa inercial e massa gravitacional, conclui-se, de imediato, a poderabilidade da energia.
O deslocamento das radiações eletromagnéticas já não é mais retilíneo e sim dotado de uma curvatura definida pelo potencial gravitacional da matéria existente em cada ponto do espaço.

Mas a velocidade é uma grandeza vetorial. Para definí-la completamente precisamos de três parâmetros: direção de propagação, sentido de propagação e módulo que é uma grandeza absoluta que mede a magnitude dessa velocidade.
No nosso caso, o módulo da velocidade da luz é sempre o mesmo: três milhões de metros por segundo no espaço vazio. O sentido poderá ser atè o mesmo, mas a direção varia a cada ponto da trajetória.

Isso demonstra que o comportamento da luz descrito pela teoria da relatividade especial não é absolutamente igual àquele descrito pela teoria da relatividade geral.
Mas que em qualquer dos casos, o valor da velocidade de propagação da luz (definido pelo seu módulo) é sempre o mesmo – três milhões de metros por segundo.
Mas no meu entender, essa não é a questão mais importante. A questão mais importante é: poderemos ainda manter a velocidade da luz como uma velocidade limite no Universo? A relação de Lorentz só é válida para sistemas inerciais.
Einstein mui espertamente fugiu da questão. Ao propor o princípio da equivalência estendeu esse princípio para todo e qualquer sistema de referência, incluindo o sistema inercial. Resolveu o problema “por tabela” sem entrar no mérito da questão.

5. […] here and see […]